En 1611, Johannes Kepler, conocido por sus leyes del movimiento planetario, brindó una solución al problema de la forma más densa posible de disponer esferas de igual tamaño. El famoso astrónomo abordó este problema cuando se le preguntó cómo apilar balas de cañón para que ocupen la menor cantidad de espacio. Kepler concluyó que la mejor configuración es la llamada red cúbica centrada en las caras, un método comúnmente utilizado en las tiendas de comestibles para exhibir naranjas: cada bala de cañón debe descansar en la cavidad dejada por las cuatro balas de cañón (dispuestas en una dirección estrecha y bidireccional, dos cuadrados) Está ubicado directamente debajo de él. Sin embargo, esto era solo una conjetura y no fue probado hasta casi 400 años después por un matemático de la Universidad de Michigan.
Si bien esto resolvió el problema del empaquetamiento esférico uniforme, el problema más general relacionado con la forma óptima de colocar objetos 3D de varios tamaños y formas sigue sin resolverse. Este problema es, de hecho, NP-difícil, lo que significa que no se puede resolver por completo, o incluso casi, con un alto grado de precisión, sin tiempos de cálculo absurdamente largos que podrían llevar años o décadas, dependiendo de cuántas piezas se tengan que resolver. ser hecho Póngalo en un lugar angosto.
Sin embargo, ha habido algunos avances significativos, no en forma de prueba matemática sino a través de una nueva metodología computacional que hace que esta tarea que alguna vez fue difícil sea más manejable. Un equipo de investigadores del MIT e Inkbit (una empresa del MIT con sede en Medford, Massachusetts), encabezado por Wojciech Matusik PhD ’03, profesor del MIT y cofundador de Inkbit, presenta una técnica que denominan «empaquetamiento espectral denso y entrelazado». «Gratis y escalable», o SSP, en agosto en SIGGRAPH 2023, la conferencia más grande del mundo sobre gráficos por computadora y tecnologías interactivas. Un artículo complementario de Qiaodong Cui de Inkbit, el estudiante graduado del MIT Victor Rong SM ’23, Desai Chen PhD ’17 (también de Inkbit) y Matusik, se publicará el próximo mes en la revista ACM Transactions on Graphics.
El primer paso en SSP es organizar objetos sólidos 3D para llenar un contenedor estático. Un enfoque posible, por ejemplo, es comenzar con el más grande y terminar con el más pequeño. El siguiente paso es poner cada objeto en el contenedor. Para facilitar este proceso, el contenedor es «cúbico», lo que significa que está representado por una red 3D formada por pequeños cubos o vóxeles, cada uno de los cuales puede tener solo un milímetro cúbico de tamaño. La cuadrícula muestra qué partes del contenedor, o píxeles, ya están llenas y cuáles están vacías.
El objeto a llenar también se voxeliza, nuevamente representado por una aglomeración de cubos del mismo tamaño que los del contenedor. Para averiguar qué espacio está disponible para ese objeto, el algoritmo calcula una cantidad llamada métrica coloidal en cada vóxel. Funciona colocando el centro del objeto en cada vóxel del contenedor y luego contando la cantidad de píxeles ocupados con los que el objeto se superpone o «choca». Un objeto solo se puede ubicar donde no hay superposición, en otras palabras, donde no hay colisiones.
El siguiente paso es examinar todas las posiciones posibles y seleccionar la mejor posición disponible para colocar el objeto. Para esta tarea, los investigadores calculan otra métrica en cada vóxel, que está diseñada para maximizar localmente la densidad de empaquetamiento. Esta escala mide los espacios entre el objeto y la pared del contenedor, o entre el objeto que se mueve y los objetos que ya están dentro del contenedor. Si el objeto se coloca en el centro, por ejemplo, es probable que la escala asigne un valor alto. Sin embargo, el objetivo es reducir los espacios entre los objetos, y esto se puede lograr colocando el objeto donde el valor métrico es el más bajo. «Es como Tetris», explica Matusyk. «Quieres dejar el menor espacio vacío posible».
Sin embargo, esa no es toda la historia, porque la discusión anterior trata sobre algo que se mueve o se «traduce» al contenedor mientras se mantiene una orientación constante en el espacio. Una computadora puede pasar por todo este proceso con muchas orientaciones diferentes del mismo objeto hasta que encuentra la que mejor se adapta al espacio.
El último paso en el algoritmo SSP es asegurarse de que, para un arreglo aparentemente deseable, cada objeto pueda acceder a su ubicación asignada o, de manera equivalente, cada objeto pueda separarse de los demás cuando se vacía el contenedor. Esto significa que el empaque debe estar «libre de enredos», un requisito para evitar formaciones tales como anillos enredados.
Está claro que determinar las mejores posiciones para cada objeto mientras el contenedor está lleno requiere muchos cálculos. Pero el equipo utilizó una técnica matemática, la transformada rápida de Fourier (FFT), que nunca antes se había aplicado a un problema de empaquetamiento. Con FFT, los problemas de superposición de vóxeles y minimización de espacios para todos los píxeles en un contenedor se pueden resolver con un conjunto relativamente limitado de cálculos, como la simple multiplicación, en lugar de la alternativa poco práctica de probar todas las ubicaciones posibles de los objetos que se colocarán dentro. . Esto hace que el embalaje sea más rápido en varios órdenes de magnitud.
En una demostración, el nuevo algoritmo colocó eficientemente 670 objetos en solo 40 segundos, logrando una densidad de relleno de alrededor del 36 por ciento. Se necesitaron dos horas para organizar 6.596 piezas con una densidad de embalaje del 37,30 por ciento. “Las densidades que obtenemos, cercanas al 40 por ciento, son mucho mejores que las que obtenemos con los algoritmos tradicionales, y también son más rápidas”, dice Matusic.
Este trabajo representa «una solución fascinante a un problema de larga data sobre la organización efectiva de objetos 3D», comenta Biedrich Benes, profesor de informática en la Universidad de Purdue. «La solución propuesta maximiza la densidad de empaque y tiene el potencial de encontrar aplicaciones en muchas áreas prácticas, desde la robótica hasta la fabricación. Además, las soluciones no enredadas son adecuadas para entornos controlados por computadora».
Este enfoque, por supuesto, podría ser beneficioso para las empresas de almacenamiento y transporte donde los diferentes objetos se empaquetan de forma rutinaria en cajas de diferentes tamaños, según Matusik. Sin embargo, él y sus colegas están especialmente interesados en las aplicaciones de la impresión 3D, también denominada fabricación aditiva. Las piezas generalmente se fabrican en lotes y se colocan en bandejas. Sin embargo, los métodos actuales, dice Matusik, «tienen un uso muy limitado para [container] Volumen «- generalmente alrededor del 20 por ciento». Si podemos aumentar la densidad del empaque”, agrega, “podemos aumentar la eficiencia general del proceso de impresión y, por lo tanto, reducir el costo total de las piezas fabricadas”. «
Si bien el documento SIGGRAPH presenta procedimientos nuevos y mejorados para la impresión 3D, así como para empaquetar objetos rígidos, el problema de cuál es la mejor manera de organizar objetos deformables u objetos articulados, que consisten en más de una parte rígida conectada por juntas, permanece abierto, y puede ser abordado en trabajos futuros. Mientras tanto, si las personas se encuentran con solo dos horas para colocar más de 6,000 artículos en una caja de almacenamiento, no se desespere. La ayuda puede ser simplemente un algoritmo.
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